বুলিয়ান অ্যালজেবরা (Boolean Algebra)
১৮৪৭ সালে ইংরেজ গণিতজ্ঞ জর্জ বুলি (George Boole) সর্বপ্রথম বুলিয়ান অ্যালজেবরা নিয়ে আলোচনা করেন। বুলিয়ান অ্যালজেবরা মূলত লজিকের সত্য এবং মিথ্যা এই দুই স্তরের উপর ভিত্তি করে তৈরি হয়েছে। বুলিয়ান অ্যালজেবরার এই দ্বিস্তরীয় বৈশিষ্ট্যের জন্য পরবর্তীকালে যখন কম্পিউটারে বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতির ব্যবহার শুরু হলো, তখন বুলিয়ান অ্যালজেবরার সত্য এবং মিথ্যাকে বাইনারি ১ এবং ০ দিয়ে পরিবর্তন করা হয়। তখন থেকেই কম্পিউটারের সমস্ত গাণিতিক ও যুক্তিমূলক সমস্যা বুলিয়ান অ্যালজেবরার সাহায্যে সমাধান করা সম্ভব হলো। বুলিয়ান অ্যালজেবরায় শুধুমাত্র বুলিয়ান যোগ এবং গুণ-এর সাহায্যে সমস্ত কাজ করা হয়।
বুলিয়ান ধ্রুবক ও চলক (Boolean Variable & Constant)
বুলিয়ান ধ্রুবক ও চলক এর মান ০ অথবা ১ হয়। ধ্রুবক-এর মান অপরিবর্তিত থাকে, তবে চলকের মান সময়-নির্ভরশীল। সংযোগ তার এবং সার্কিটের ইনপুট যা সম অথবা আউটপুটের লজিক অবস্থা নির্দিষ্টকরণের জন্য বুলিয়ান ধ্রুবক এবং চলকা ব্যবহার করা হয়। ডিজিটাল সার্কিটের কোন স্থানের ভোল্টের পরিমাণের ভিত্তিতে বলা হয় যে, স্থানটি ০ স্তরে আছে না ১- স্তরে আছে। সাধারণত ০ থেকে + ০.৮ ভোল্ট পর্যন্ত লেবেলকে লজিক ০ এবং +২ ভোল্ট থেকে ৫ ভোল্ট পর্যন্ত লেবেলকে লজিক ১ ধরা হয়। ডিজিটাল ইলেক্ট্রনিক্সে +০.৮ ভোল্ট থেকে +২.০ ভোল্ট লেবেল সংজ্ঞায়িত নয় বিধায় ব্যবহার করা হয় না।
বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ (Postulates)
বুলিয়ান অ্যালজেবরায় শুধুমাত্র বুলিয়ান যোগ ও গুণ এর সাহায্যে সমস্ত কাজ করা হয়। যোগ ও গুণের ক্ষেত্রে বুলিয়ান অ্যালজেবরা কতগুলো নিয়ম মেনে চলে। এই নিয়মগুলোকে বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ (Postulates) বলে। বুলিয়ান অ্যালজেবরা যোগের ক্ষেত্রে যে সব নিয়ম মেনে চলে সেগুলো নিম্নরূপ-
(১) ০+০=০
(২) ০+১=১
(৩) ১+০=১
(৪) ১+১=১
প্রথম থেকে তৃতীয় সমীকরণ আমাদের প্রচলিত অ্যালজেবরার যোগের নিয়মের সঙ্গে মিল আছে, কিন্তু চতুর্থ সমীকরণ অর্থাৎ ১ + ১ = ১ এর সাথে প্রচলিত অ্যালজেবরার যোগের কোন মিল নাই। সুতরাং বোঝা যাচ্ছে যে বুলিয়ান যোগের "+" চিহ্ন, সাধারণ অ্যালজেবরার যোগকে বুঝায় না। বুলিয়ান যোগকে লজিক্যাল অ্যাডিশন (Logical Addition) বা লজিক্যাল অর (OR) অপারেশন বুঝায়।
বুলিয়ান অ্যালজেবরা গুণের ক্ষেত্রে যে সব নিয়ম মেনে চলে সেগুলো নিম্নরূপ-
(১) ০.০=০
(২) ০.১=০
(৩) ১.০=০
(৪) ১.১ = ১
দ্বৈত নীতি (Duality Principle)
'অ্যান্ড' এবং 'অর' অপারেশনের সাথে সম্পর্কযুক্ত সকল উপপণ্য বা সমীকরণ দ্বৈত নীতি (Duality Principle) মেনে চলে। যদি একটি বৈধ সমীকরণ থাকে তাহলে ঐ বৈধ সমীকরণে নিম্নোক্ত দুইটি পরিবর্তন করে দ্বিতীয় আরেকটি বৈধ সমীকরণ পাওয়া যাবে।
১. অ্যান্ড(.) এবং অর(+) অপারেটরকে পরস্পর বিনিময় (Interchange) করে। অর্থাৎ অ্যান্ড (.) এর পরিবর্তে অর(+) এবং অর(+) এর পরিবর্তে অ্যান্ড (.) ব্যবহার করে।
২. '0' এবং '1' পরস্পর বিনিময় (Interchange) করে। অর্থাৎ '0' এর পরিবর্তে '1' এবং '1' এর পরিবর্তে '0' ব্যবহার করে।
বুলিয়ান পূরক:
বুলিয়ান অ্যালজেবরায় দুটি সম্ভাব্য মান ০ এবং 1 কে একটি অপরটির পূরক বলা হয়। পূরককে " অথবা """ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ 1 এর পূরক। এবং ০ এর পূরক 1। উক্ত কথাটিকে গণিতের ভাষায় লেখা হয়, A এর পূরক হলো A' (অথবা A)। যদি A এর মান হয় তবে
A = 1 এবং যদি A এর মান 1 হয় তবে A = 0।
